求证方程a/2x^2+bx+c=0有且仅有一个根介于x1和x2之间。

x1是ax^2+bx+c=0的一个根
所以ax1^2+bx1+c=0
所以bx1+c=-ax1^2
x2是-ax^2+bx+c=0的一个根
所以-ax2^2+bx2+c=0
所以bx2+c=ax2^2
令y=f(x)=a/2x^2+bx+c
则f(x1)*f(x2)=(a/2x1^2+bx1+c)(a/2x2^2+b2x+c)
=(a/2x1^2-ax1^2)(a/2x2^2+ax2^2)
=-(3/4)*a^2x1^2x2^2
因为x1不等与0，x2不等于0，一元二次方程所以a不等于0
所以a^2x1^2x2^2>0
所以f(x1)*f(x2)=-(3/4)*a^2x1^2x2^2<0
就是说f(x1)和f(x2)一正一负
而且f(x)是连续的
同时x1不等于x2
所以必有一个x0在x1和x2之间
使得f(x0)=0
所以x1和x2之间一定有解
若x1和x2之间有两个解
则f(x1)和f(x2)必然同为正或同为负
所以方程f(x)=0有且仅有一个根介于x1和x2之间